Question

【题目】在△ABC中，三个内角是A，B，C的对边分别是a，b，c，其中c=10，且 ．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）设圆O过A，B，C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°，求四边形ABCP的面积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：根据正弦定理得， ．

整理为：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

因为0＜A＜π，0＜B＜π，所以0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以A=B，或者A+B= ．

由于 ，

故△ABC是直角三角形．

（2）解：由（1）可得：a=6，b=8．

在Rt△ABC中，sin∠CAB= = ，cos∠CAB=

sin∠PAC=sin（60°﹣∠CAB）

=sin60°cos∠CAB﹣cos60°sin∠CAB

= ．

连接PB，在Rt△APB中，AP=ABcos∠PAB=5．

所以四边形ABCP的面积

S四边形△ABCP=S△ABC+S△PAC

=

= ．

【解析】（1）由题设条件 ．利用正弦定理可得 ，整理得讨论知，A=B或者A+B= ．又 ，所以A+B= ． 由此可以得出，△ABC是直角三角形；（2）将四边形ABCP的面积表示成两个三角形S△ABC与S△PAC的和，S△ABC易求，S△PAC需求出线段PA的长度与sin∠PAC的值，利用三角形的面积公式求解即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用正弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握正弦定理:．