Question

1．已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，再验证是否满足函数取得极小值的条件即可．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立，h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，利用导数研究其单调性极值最值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{e}$，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，
故当x=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）取得极小值即最小值为-$\frac{2}{e}$．
（2）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，
即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立?a≥2lnx+x+$\frac{3}{x}$存在x∈（0，+∞）能成立，
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，则h′（x）=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，h（x）取得最小值4．因此a≥4，

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于中档题