Question

6．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数f′（x），根据题意列出方程组$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，解方程组求出a、b的值；
（Ⅱ）利用导数判断函数f（x）的单调性，求出f（x）在定义域上的最小值f（x）_min．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²-blnx，∴x＞0，f′（x）=2ax-$\frac{1}{x}$；
又∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2a-b=0}\\{a=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x²-2lnx，
f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$，
由f′（x）=2x-$\frac{2}{x}$=2•$\frac{{x}^{2}-1}{x}$=0，
解得x=±1（负值舍去），
∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值问题，也考查了导数的几何意义与应用问题，是综合性题目．