Question

6．直线l₁，l₂，l₃相交于A（2，5），B（-2，1），C（8，-3）．如图所示：
（1）用不等式组表示图中的阴影部分；
（2）设目标函数为z=3x-4y，图中的阴影部分是对x，y的约束条件，求在此约束条件下，目标函数的最大值和最小值；
（3）设目标函数为z=3x+4y，图中的阴影部分是对x，y的约束条件，求在此约束条件下，目标函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出三条直线的方程，根据特殊点坐标验证得出不等式的符号；
（2）由z=3x-4y得y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$，根据可行域与直线的斜率判断最优解的位置；
（3）由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$，根据可行域与直线的斜率判断最优解的位置．

解答 解：（1）直线AB的方程为$\frac{y-1}{4}=\frac{x+2}{4}$，即x-y+3=0，
直线AC的方程为$\frac{y+3}{8}=\frac{x-8}{-6}$，即4x+3y-23=0，
直线BC的方程为$\frac{y-1}{-4}=\frac{x+2}{10}$，即2x+5y-1=0．
∵可行域在直线AB，AC的下方，在直线BC的上方，
∴可行域的约束条件为$\left\{\begin{array}{l}{x-y+3≥0}\\{4x+3y-23≤0}\\{2x+5y-1≥0}\end{array}\right.$．
（2）由z=3x-4y得y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$，由可行域可知，当直线y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$经过点A（2，5）时截距最大，即z取得最小值，
当直线y=$\frac{3}{4}x-\frac{z}{4}$经过点C（8，-3）时截距最小，即z取得最大值．
∴z的最小值为3×2-4×5=-14，z的最大值为3×8-4×（-3）=36．
（3）由z=3x+4y得y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$，由可行域可知，当直线y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$经过点A（2，5）时截距最大，即z取得最大值，
当直线y=-$\frac{3}{4}x+\frac{z}{4}$经过点B（-2，1）时截距最小，即z取得最小值．
∴z的最大值为3×2+4×5=26，z的最小值为3×（-2）+4×1=-2．

点评 本题考查了简单的线性规划，根据可行域判断最优解的位置是解题关键．