Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n．若a₂=12，S_n=kn²-1（n∈N^*），则数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 S_n=kn²-1（n∈N^*），可得：当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由a₂=12，解得k=4．可得S_n=4n²-1，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：∵S_n=kn²-1（n∈N^*），
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=kn²-1-[k（n-1）²-1]=2nk-k，
∴a₂=4k-k=12，解得k=4．
∴S_n=4n²-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了“裂项求和”、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．