Question

4．设函数f（x）=cosx•cos（x-θ）-$\frac{1}{2}$cosθ，θ∈（0，π）．已知当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）取得最大值．
（1）求θ的值；
（2）设g（x）=2f（$\frac{3}{2}$x），求函数g（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-θ），由三角函数的最值可得；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$），可得g（x）=2f（$\frac{3}{2}$x）=cos（3x-$\frac{2π}{3}$），由0≤x≤$\frac{π}{3}$和三角函数的最值可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得：
f（x）=cosx（cosxcosθ+sinxsinθ）-$\frac{1}{2}$cosθ
=cos²xcosθ+sinxcosxsinθ-$\frac{1}{2}$cosθ
=$\frac{1+cos2x}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sin2xsinθ-$\frac{1}{2}$cosθ
=$\frac{1}{2}$cos2xcosθ+$\frac{1}{2}$sin2xsinθ
=$\frac{1}{2}$cos（2x-θ）
由[f（x）]_max=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$可得cos（$\frac{2π}{3}$-θ）=1
又∵θ∈（0，π），∴θ=$\frac{2π}{3}$；
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{2π}{3}$），
∴g（x）=2f（$\frac{3}{2}$x）=cos（3x-$\frac{2π}{3}$）
∵0≤x≤$\frac{π}{3}$，所以-$\frac{2π}{3}$≤3x-$\frac{2π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
∴当3x-$\frac{2π}{3}$=0，即x=$\frac{2π}{9}$时，[g（x）]_max=1

点评 本题考查三角函数的最值，涉及和差角的三角函数公式，属中档题．