Question

12．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求f（x）的最小正周期和f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1））由条件利用正弦函数的周期性求得f（x）的最小正周期，利用两角和的正弦公式求得f（$\frac{π}{8}$）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）的值．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最值．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最小正周期为$\frac{2π}{2}$=π，
f（$\frac{π}{8}$）=2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{6}$）=2sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{6}$+2cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{6}$=2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2•$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$．
（2）∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最小值为-1；
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）取得最大值为2．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．