Question

20．设$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{3}$，sin$\frac{nπ}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），则y=|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{b}$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{100}}$+$\overrightarrow{b}$|²的最大值与最小值的差是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意写出y的表达式并花简，再利用三角函数的周期性，正弦函数的最值，求出函数的最大值与最小值，可得结论．

解答 解：因为设$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（cos$\frac{nπ}{3}$，sin$\frac{nπ}{3}$），$\overrightarrow{b}$=（cosθ，sinθ），
所以，${\overrightarrow{{a}_{n}}}^{2}$=${|\overrightarrow{{a}_{n}}|}^{2}$=1，${\overrightarrow{{b}_{n}}}^{2}$=1，$\overrightarrow{{a}_{n}}•\overrightarrow{b}$=cos$\frac{nπ}{3}$cosθ+sin$\frac{nπ}{3}$sinθ=cos（$\frac{nπ}{3}$-θ）．
y=|$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{b}$|²+|$\overrightarrow{{a}_{2}}$+$\overrightarrow{b}$|²+…+|$\overrightarrow{{a}_{100}}$+$\overrightarrow{b}$|²
=（${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}$+${{a}_{2}}^{2}$+…+${\overrightarrow{{a}_{100}}}^{2}$ ）+100•${\overrightarrow{b}}^{2}$+2$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{100}}$）=200+2$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{100}}$），
∵$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{100}}$=（cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{2π}{3}$+cosπ+…+cos$\frac{100π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$+sin$\frac{2π}{3}$+sinπ+…+sin$\frac{100π}{3}$ ），
再根据y=sin$\frac{π}{3}$x 和y=cos$\frac{π}{3}$x都是以6为周期的周期函数，
cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{2π}{3}$+cosπ+…+cos2π=0，sin$\frac{π}{3}$+sin$\frac{2π}{3}$+sinπ+…+sin2π=0，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{100}}$=（cos$\frac{π}{3}$+cos$\frac{2π}{3}$+cosπ+cos$\frac{4π}{3}$，sin$\frac{π}{3}$+sin$\frac{2π}{3}$+sinπ+sin$\frac{4π}{3}$ ）
=（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴2$\overrightarrow{b}$•（$\overrightarrow{{a}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{2}}$+…+$\overrightarrow{{a}_{100}}$）=2（cosθ，sinθ）•（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-2（$\frac{3}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ ）
=-2$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）=-2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$），
∴y=200-2$\sqrt{3}$sin（θ+$\frac{π}{3}$）．
故y的最大值为200+2$\sqrt{3}$，最小值为200-2$\sqrt{3}$，故最大值与最小值的差为4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，正弦函数的最值，属于中档题．