Question

1．已知函数f（x）=sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$cos²$\frac{x}{2}$．
（1）求当x∈[0，π]时，f（x）的零点；
（2）求f（x）的值域；
（3）将f（x）的图象经过怎样的平移，使得平移后的图象关于原点对称？（只需说出一种平移途径即可）

Answer 1

分析 （1）使用二倍角公式化简f（x），令f（x）=0，利用正弦函数的图象与性质得出零点．
（2）根据正弦函数的性质得出f（x）的最值；
（3）将化简后的f（x）进行图象变换得到y=sinx即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
令f（x）=0得sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴x+$\frac{π}{3}$=$\frac{4π}{3}$，x=π．
（2）∵-1≤sin（x+$\frac{π}{3}$）≤1．
∴当sin（x+$\frac{π}{3}$）=-1时，f（x）取得最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$，
当sin（x+$\frac{π}{3}$）=1时，f（x）取得最大值$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．
∴f（x）的值域是[$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$，$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$]．
（3）将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{3}$个单位，再向下平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位得到的函数图象关于原点对称．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，属于中档题．