Question

函数f（x）=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x的值域为

 

．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,复合三角函数的单调性

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：运用二倍角公式和两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：函数f（x）=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=（sin⁴x-cos⁴x）+

3

•（2sinxcosx）
=（sin²x-cos²x）（sin²x+cos²x）+

3

sin2x
=

3

sin2x-cos2x=2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）
=2sin（2x-

π

6

）
由于x∈R，则sin（2x-

π

6

）∈[-1，1]，
则f（x）的值域为[-2，2]．
故答案为：[-2，2]．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查二倍角公式和两角差的正弦公式，考查正弦函数的值域，属于基础题．