Question

10．已知圆C过点（-1，0），且圆心在x轴的负半轴上，直线l：y=x+1被该圆所截得的弦长为2$\sqrt{2}$，则过圆心且与直线l平行的直线方程为x-y+3=0．

Answer 1

分析 根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（-1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，即可求出过圆心且与直线l平行的直线方程．

解答 解：设圆心C（x，0），则圆的半径r=|BC|=|x+1|，
∴圆心C到直线l的距离|CD|=$\frac{|x+1|}{\sqrt{2}}$，弦长|AB|=2$\sqrt{2}$，
则r=$\sqrt{\frac{（x+1）^{2}}{2}+2}$=|x+1|，
整理得：x=1（不合题意，舍去）或x=-3，
∴圆心C（-3，0），半径为2，
则圆C方程为（x+3）²+y²=4．
∴过圆心且与直线l平行的直线方程为y=x+3，即x-y+3=0．
故答案为：x-y+3=0．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及圆的标准方程，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．