Question

12．如图△ABC中，sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，AB=3$\sqrt{2}$，又己知BC边上有一点D，使∠DAC=90°，BD=$\sqrt{3}$．
（I）求AD的长；
（Ⅱ）求cosC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知结合三角形中的边角关系求出cos∠BAD的值，在△ABD中，由余弦定理求AD的长；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理，求出sin∠ADB，通过三角形是直角三角形，即可求cosC．

解答 解：（Ⅰ）∵∠DAC=90°，
∴sin∠BAC=sin（90°+∠BAD）=cos∠BAD，
∵sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
在△ABD中，由余弦定理可知BD²=AB²+AD²-2AB•ADcos∠BAD，
即AD²-8AD+15=0，
解之得，AD=5或AD=3，
由于AB＞AD，
∴AD=3；
（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知$\frac{BD}{sin∠BAD}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，
又由cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
可知sin∠BAD=$\frac{1}{3}$，
∴sin∠ADB=$\frac{ABsin∠BAD}{BD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC=90°，
∴cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查解三角形，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．