Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
（1）证明：PB∥平面AEC；
（2）设AP=1，AD= ，三棱锥P﹣ABD的体积V= ，求A到平面PBC的距离．
（3）在（2）的条件下求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：设BD和AC交于点O，连接EO．

∵ABCD为矩形，∴O为BD的中点．

又∵E为PD的中点，∴EO∥PB

∵EO平面AEC，PB平面AEC，

∴PB∥平面AEC．

（2）解：VP﹣ABD= PAABAD= AB．由V= ，可得AB=

作AH⊥PB交PB于H．

由BC⊥AB，BC⊥PA，知BC⊥平面PAB．

∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．

又AH= = ．

∴A到平面PBC的距离为 ．

（3）解：由（2）可知：AH⊥平面PBC．

∴∠APH为直线AP与平面PBC所成角

在Rt△APH中，AH= ，AP=1，

∴sin∠APH= = ．

∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）设BD和AC交于点O，连接EO．运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；（2）运用棱锥的体积公式，求得AB，作AH⊥PB交PB于H，证得AH⊥平面PBC，运用直角三角形PAB中面积相等，可得AH的长，即为所求；（3）推得∠APH为直线AP与平面PBC所成角，在Rt△APH中，运用正弦函数的定义，计算即可得到所求值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间角的异面直线所成的角的相关知识，掌握已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．