Question

【题目】已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M．
（I）求曲线M的方程；
（Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

Answer 1

【答案】解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），

所以a=2，c=1，

所以b= ，

所以曲线M： （y≠0）为所求．

（Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0），

设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2），

与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0，

所以y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣

因为 =（my1+2，y1）， =（my2+2，y2），

所以 =（my1+2）（my2+2）+y1y2=

注意到点A在以CD为直径的圆上，所以 =0，即m=±

所以直线BC的方程 或 为所求

【解析】（I）由题意，可得曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），从而可得求曲线M的方程；（Ⅱ）设与直线BC的方程，与椭圆方程联立，消x，利用韦达定理，结合 =0，即可求直线BC的方程．