Question

【题目】如图，在由圆O：x2+y2=1和椭圆C： =1（a＞1）构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为 ，直线l与圆O相切于点M，与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得 = ，若存在，求此时直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： =1（a＞1）的离心率为 ，

∴

解得：a2=3，所以所求椭圆C的方程为

（2）解：假设存在直线l，使得 = ，

当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，

由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1 …（1）（7分）

直线ly=kx+b代入椭圆C的方程为 ，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0

设A（x1，y1）、B（x2，y2），则 ，

∴ = = …（2）

由（1）（2）可得k2=1，b2=2

故存在直线l，方程为 ，使得 =

【解析】（1）根据椭圆C： =1（a＞1）的离心率为 ，可得a2=3，从而可求椭圆C的方程；（2）假设存在直线l，使得 = ，当直线l垂直于x轴时，不符合题意，故设直线l方程为y=kx+b，由直线l与圆O相切，可得b2=k2+1，直线l代入椭圆C的方程为 ，可得（1+3k2）x2+6kbx+3b2﹣3=0 设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），进而利用 = ，即可知存在直线l．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．