Question

14．函数f（x）=$\frac{x^2}{lnx+x}$的值域是（-∞，0）∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 求解函数f（x）的定义域，求导，分析出函数的最值，可得值域．

解答 解：令g（x）=lnx+x，则存在a∈（0，1），使g（a）=0，
∴函数f（x）=$\frac{x^2}{lnx+x}$，其定义域为{x|x＞0，且x≠a}，
f′（x）=$\frac{2xlnx+{x}^{2}-x}{（lnx+x）^{2}}$，
令f′（x）=0，则x=1，
①当x∈（0，a）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，函数为减函数，
此时函数f（x）∈（-∞，0），
②当x∈（a，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数为减函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数为增函数，
故当x=1时，函数取极小值1，无极大值，
此时函数f（x）∈[1，+∞）
故函数的值域为：（-∞，0）∪[1，+∞），
故答案为：（-∞，0）∪[1，+∞）

点评 本题考查的知识点是函数的值域，利用导数求函数的最值，难度中档．