Question

9．已知数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（I）求T_n；
（II）若对任意的n∈N^*不等式λT_n＜n+（-1）ⁿ恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由a_n=2n-1，则b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂项法”即可求得数列{b_n}的前n项和T_n；
（II）由（I）可知：λ＜$\frac{（2n+1）[n+（-1）^{n}]}{n}$恒成立，当n为奇数时，λ＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{n}$=2n-$\frac{1}{n}$-1恒成立，根据函数的单调性即可求得当n=1时，2n-$\frac{1}{n}$-1取得最小值为0，同理可知：当n=2时，2n+$\frac{1}{n}$+3取得最小值为$\frac{15}{2}$，综上可知：对于任意的正整数n，原不等式恒成立，则λ的取值范围是（-∞，0）．

解答 解：（I）由a_n=2n-1，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
数列{b_n}的前n项和T_n，T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$），
=$\frac{n}{2n+1}$，
∴T_n=$\frac{n}{2n+1}$；
（II）由（I）得：λT_n＜n+（-1）ⁿ，即λ＜$\frac{（2n+1）[n+（-1）^{n}]}{n}$，
当n为奇数时，λ＜$\frac{（2n+1）（n-1）}{n}$=2n-$\frac{1}{n}$-1恒成立，
∵当n为奇数时，2n-$\frac{1}{n}$单调递增，
∴当n=1时，2n-$\frac{1}{n}$-1取得最小值为0，
此时λ＜0．
当n为偶数时，λ＜$\frac{（2n+1）（n+1）}{n}$=2n+$\frac{1}{n}$+3恒成立，
当n为偶数时，2n+$\frac{1}{n}$+3单调递增，
∴当n=2时，2n+$\frac{1}{n}$+3取得最小值为$\frac{15}{2}$，
此时λ＜$\frac{15}{2}$．
综上所述，对于任意的正整数n，原不等式恒成立，
∴λ的取值范围是（-∞，0）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的应用，考查“裂项法”求数列的前n项和，考查数列与不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．