Question

20．已知cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，则cos（105°-α）+sin（α-105°）的值为-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 本题考查的知识点是同角三角函数关系运算及诱导公式，我们分析已知角与未知角的关系，易得75°+α为第四象限的角，原式可化为cos[180°-（75°+α）]+sin[（75°+α）-180°]结合同角三角函数关系运算及诱导公式，对式子进行化简，不难给出答案

解答 解：方法一：∵cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，其中α为第三象限角，
∴75°+α为第四象限的角
∴75°+α=-60°，
∴α=-135°，
∴cos（105°-α）+sin（α-105°）=cos（-240°）+sin（-240°）=-sin60°+sin60°=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
方法二：∵cos（75°+α）=$\frac{1}{2}$，α是第三象限的角，其中α为第三象限角
∴75°+α为第四象限的角
∴sin（75°+α）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
则cos（105°-α）+sin（α-105°）
=cos[180°-（75°+α）]+sin[（75°+α）-180°]
=-cos（75°+α）]-sin（75°+α）
=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 三角函数给值求值问题的关键就是分析已知角与未知角的关系，然后通过角的关系，选择恰当的公式，即：如果角与角相等，则使用同角三角函数关系；如果角与角之间的和或差是直角的整数倍，则使用诱导公式；如果角与角之间存在和差关系，则我们用和差角公式；如果角与角存在倍数关系，则使用倍角公式．