Question

5．若定义在R上的函数f（x）对任意x₁、x₂∈R，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：y=f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5，解不等式f（3m-2）＜3．

Answer 1

分析 （1）要判断函数的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．现在要判断f（x）-1的奇偶性即就是判断[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x₁=x₂=0得到f（0）=1；然后令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1证出即可；
（2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x₁＜x₂∈R，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小即可知道增减性．
（3）已知f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，则f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．由不等式
f（3m-2）＜3，得f（3m2）＜f（2），由（2）知，f（x）是R上的增函数，得到3m^_-2＜2，求出解集即可．

解答 解解：（1）定义在R上的函数f（x）对任意的x₁，x₂∈R，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1成立，
令x₁=x₂=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）-1⇒f（0）=1，
令x₁=x，x₂=-x，则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1，
∴[f（x）-1]+[f（-x）-1]=0，
∴f（x）-1为奇函数．
（2）由（1）知，f（x）-1为奇函数，
∴f（-x）-1=-[f（x）-1]，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1=f（x₂）-[f（x₁）-1]=
f（x₂）-f（x₁）+1．
∵当x＞0时，f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）+1＞1，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是R上的增函数．
（3）∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-1，且f（4）=5，
∴f（4）=f（2）+f（2）-1⇒f（2）=3．
由不等式f（3m-2）＜3，得f（3m-2）＜f（2），
由（2）知，f（x）是R上的增函数，
∴3m-2＜2，∴3m-4＜0，∴-m＜$\frac{4}{3}$，
∴不等式f（3m-2）＜3的解集为（-∞，$\frac{4}{3}$）．

点评 考查学生掌握判断函数奇偶性能力和判断函数增减性的能力，灵活运用题中已知条件的能力，属于中档题．