Question

15．已知函数$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在点（2，f（2））处的切线方程为$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$．
（1）求m，n的值；
（2）过点$P（{0，\frac{4}{e^2}}）$作曲线y=f（x）的切线，求证：这样的切线有两条．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在点（2，f（2））处的切线方程为$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$，建立方程，即可求m，n的值；
（2）由导数的几何意义转化，即可证明．

解答 （1）解：∵$f（x）=\frac{mx}{e^x}$，
∴f′（x）=$\frac{m（1-x）}{{e}^{x}}$，
∵函数$f（x）=\frac{mx}{e^x}$在点（2，f（2））处的切线方程为$y=-\frac{1}{e^2}（{x+n}）$．
∴f′（2）=-$\frac{m}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{2m}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$（2+n），
∴m=1，n=-4；
（2）证明：设切点为（a，f（a）），则所作切线的斜率k=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$，
所以直线l的方程为：y-$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$（x-a），
注意到点P（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）在l上，所以$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{a}{{e}^{a}}$=$\frac{1-a}{{e}^{a}}$（-a），
整理得：$\frac{{a}^{2}}{{e}^{a}}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=0，故此方程解的个数，即为可以做出的切线条数，
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}-\frac{4}{{e}^{2}}$，则g′（x）=-$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$，
当g'（x）＞0时，0＜x＜2，当g'（x）＜0时，x＜0或x＞2，
所以，函数g（x）在（-∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
注意到g（0）=-$\frac{4}{{e}^{2}}$＜0，g（2）=0，g（-1）=e-$\frac{4}{{e}^{2}}$＞0，
所以方程g（x）=0的解为x=2，或x=t（-1＜t＜0），
即过点P（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$）恰好可以作两条与曲线y=f（x）相切的直线．

点评 本题综合考查的导数的应用，考查导数的几何意义，同时考查了转化的数学思想．