Question

4．已知函数f（x）=2x（x-1）（x-3）的图象如图所示，有以下关于方程f（x）+1=0的说法：①有2个实数根；②当x＞0时，有1个实数根；③当-1＜x＜0时，有1个实数根；④当x＞1时，有1个实数根；⑤当-1＜x＜3时，有3个实数根．其中正确说法的序号是③⑤（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 求出导数，求得单调区间和极值，方程f（x）+1=0的根即为函数y=f（x）和直线y=-1的交点的横坐标．作出直线y=-1，可得三个交点，其横坐标设为a，b，c，且-1＜a＜0，1＜b＜2，2＜c＜3．对选项一一加以判断，即可得到结论．

解答 解：函数f（x）=2x（x-1）（x-3）的导数为f′（x）=2（3x²-8x+3），
当f′（x）=0时，x=$\frac{4±\sqrt{7}}{3}$，
由f（x）在（$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$，$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$）递减，在（-∞，$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$），（$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$，+∞）递增，
即有x=$\frac{4-\sqrt{7}}{3}$取得极大值，x=$\frac{4+\sqrt{7}}{3}$取得极小值，如图．
方程f（x）+1=0的根即为函数y=f（x）和直线y=-1的交点的横坐标．
作出直线y=-1，可得三个交点，其横坐标设为a，b，c，
且-1＜a＜0，1＜b＜2，2＜c＜3．
则①不正确，有3个实数根；②不正确，x＞0时，有两个实数根；
③-1＜x＜0，有1个实数根，正确；④x＞1，有两个实数根，不正确；
⑤当-1＜x＜3时，有3个实数根，正确．
故答案为：③⑤

点评 本题考查函数方程的转化思想的运用，考查方程的根的个数的判断，注意运用数形结合的思想方法，属于基础题．