Question

【题目】若对任意，恒有，则实数的最小值为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

不等式两边同时乘以，等价变形为，利用，，将不等式变形为，构造函数，不等式变形为，利用导数判断函数在上单调递增，从而确定在恒成立，即在恒成立.构造新函数，利用导数求函数的最大值，确定的取值范围，即可.

由题意可知，不等式变形为.

设，

则

.

当时，即在上单调递减.

当时，即在上单调递增.

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最小值点.

所以，即在上单调递增.

若使得对任意，恒有成立.

则需对任意，恒有成立.

即对任意，恒有成立，则在恒成立.

设则.

当时，，函数在上单调递增

当时，，函数在上单调递减

则在上有且只有一个极值点，该极值点就是的最大值点.

所以，即，则实数的最小值为.

故选：D