Question

12．已知△ABC，O为三角形内一点
（1）已知$\overrightarrow{OA}$$⊥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，求证$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{AB}$；
（2）若△ABC的三条边a，b，c上三条高分别为h_a=$\frac{1}{5}$，h_b=$\frac{1}{11}$，h_c=$\frac{1}{13}$，求三角形最大角的余弦．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则即可得出．
（2）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出．

解答 （1）证明：∵$\overrightarrow{OA}$$⊥\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=0，$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴0=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BC}$=$（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CA}）$$•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{BC}$，
0=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{AC}$=$（\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}）$•$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{AC}$=0，∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{BA}$=0，∴$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{AB}$．
（2）设△ABC面积为S，由面积公式可知$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×\frac{1}{13}×AB=S}\\{\frac{1}{2}×\frac{1}{11}×AC=S}\\{\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×BC=S}\end{array}\right.$，
∴AB=26S，AC=22S，BC=10S，
∴∠C为最大角，
∴cosC=$\frac{（22S）^{2}+（10S）^{2}-（26S）^{2}}{2×22S×10S}$=-$\frac{23}{110}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则、三角形面积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．