Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2x，过点E（a，0）的直线l与C交于不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且满足y1y2＝﹣4，以Q为中点的线段的两端点分别为M，N，其中N在x轴上，M在C上，则a＝_____．|PM|的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2 4

【解析】

过点E（a，0）的直线l的方程设为x＝my+a，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得a的值；再设直线PM的方程为x＝ny+b，联立抛物线方程，设M（x3，y3），运用韦达定理和中点坐标公式，可得b＝4，再由弦长公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．

过点E（a，0）的直线l的方程设为x＝my+a，代入抛物线方程y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2a＝0，

所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a＝﹣4，可得a＝2；

设直线PM的方程为x＝ny+b，联立抛物线方程y2＝2x，

可得y2﹣2ny﹣2b＝0，

设M（x3，y3），所以y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2b，

由Q为MN的中点，且N在x轴上，可得y3＝2y2，

即有2y1y2＝﹣2b＝﹣8，可得b＝4，

则|PM|2

24，

当n＝0即PM⊥x轴时，|PM|取得最小值4．

故答案为：2；4．