Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+8n+14（n∈N^*），其中a₁=14
（Ⅰ）设a_n=b_n-4n-9，求证{b_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N^*，a_2n能被64整除．

Answer 1

考点：数列递推式,二项式定理的应用

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）利用a_n=b_n-4n-9，结合a_n+1=3a_n+8n+14，证明b_n+1=3b_n即可；
（Ⅱ）利用数学归纳法，进行证明．

解答： 证明：（Ⅰ）∵a_n=b_n-4n-9，∴a_n+1=b_n+1-4（n+1）-9
又∵a_n+1=3a_n+8n+14，∴b_n+1-4（n+1）-9=3（b_n-4n-9）+8n+14，
∴b_n+1=3b_n，
又b₁=27，∴{b_n}是以27为首项，3为公比的等比数列，
∴bn=3n+2，∴an=3n+2-4n-9；
（Ⅱ）1°，n=1时，a₂=64，能被64整除，命题成立2°，假设n=k时命题成立，即a2k=9k+1-8k-9能被64整除，
则：a2(k+1)=9k+2-8(k+1)-9=9(9k+1-8k-9)+64(k+1)，
∵9^k+1-8k-9和64（k+1）都能被64整除，
∴a_2（k+1）能被64整除，
即n=k+1时命题也成立
综上可得：对任意的n∈N^*，a_2n能被64整除．

点评：本题考查了整数的整除性．运用数学归纳法将问题由特殊到一般进行证明．