Question

已知函数f（x）=|x-a|（a＞0），且不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+|2x+1|，若不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•g（x）对任意m∈R且m≠0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：（1）不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}，可得

1

2

是f（x）=|x+1|的解；
（2）由g（x）≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

对任意m∈R且m≠0恒成立，可得g（x）≤3，解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3，从而解得实数x的范围．

解答： 解：（1）不等式f（x）≥|x+1|，可化为（x-a）²≥（x+1）²，
∵不等式f（x）≥|x+1|的解集为{x|x≤

1

2

}，
∴（

1

2

-a）²=（

1

2

+1）²，
∴a=2；
（2）不等式|2m+3|+|m-3|≥|m|•g（x）对任意m∈R且m≠0恒成立转化为g（x）≤

|2m+3|+|m-3|

|m|

对任意m∈R且m≠0恒成立．
∵|2m+3|+|m-3|≥3|m|，
∴

|2m+3|+|m-3|

|m|

≥3，
∴g（x）≤3，
∴解不等式：|x-2|+|2x+1|≤3可得x∈[-

2

3

，0]．

点评：本题考查了绝对值不等式、带绝对值的函数，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．