Question

函数f（x）=（2^x-1）（2^-x-a）的图象关于x=1对称，则f（x）的最大值为

 

．

Answer 1

考点：奇偶函数图象的对称性,函数的值域

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：根据函数f（x）=（2^x-1）（2^-x-a）的图象关于x=1对称，可求出a值，代入后，利用基本不等式，可得答案．

解答： 解：若函数f（x）=（2^x-1）（2^-x-a）的图象关于x=1对称，
则f（x）=f（2-x），
即（2^x-1）（2^-x-a）=（2^2-x-1）（2^x-2-a），
即a=

2x-2-2-x

2x-22-x

=

2x-2-2-x

4(2x-2-2-x)

=

1

4

，
故f（x）=（2^x-1）（2^-x-

1

4

）=1+

1

4

-（

1

4

•2x+2-x）≤1+

1

4

-1=

1

4

，
故f（x）的最大值为

1

4

，
故答案为：

1

4

点评：本题考查的知识点是函数的对称性，函数的最值，基本不等式，是函数和不等式的综合应用，难度中档．