Question

定义：关于x的不等式|x-A|＜B的解集叫A的B邻域．已知a+b-2的a+b邻域为区间（-2，8），其中a、b分别为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的长半轴和短半轴．若此椭圆的一焦点与抛物线y²=4

5

x的焦点重合，则椭圆的方程为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据新定义由题意得：|x-（a+b-2）|＜a+b的解集为区间（-2，8），从而得到关于 a，b的等量关系，再求得抛物线的焦点坐标，根据椭圆的标准方程，即可求得结论．

解答： 解：由题意得：|x-（a+b-2）|＜a+b的解集为区间（-2，8），
∵|x-（a+b-2）|＜a+b的解集为：（-2，2（a+b）-2），
∴2（a+b）-2=8，整理，得a+b=5①，
由题意抛物线y²=4

5

x的焦点坐标为（

5

，0），
∵椭圆的标准方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∴a²-b²=5②
由①②解得a²=9，b²=4
∴椭圆的方程为

x2

9

+

y2

4

=1．
故答案为：

x2

9

+

y2

4

=1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查椭圆的标准方程，考查待定系数法的运用，解题时要认真审题，属于中档题．