Question

若存在x∈R，使|2x-a|+2|3-x|≤1成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：选作题,不等式

分析：|2x-a|+2|3-x|≤1可化为|x-

a

2

|+|x-3|≤

1

2

，利用绝对值的几何意义，可得到|

a

2

-3|≤

1

2

，解之即可．

解答： 解：|2x-a|+2|3-x|≤1可化为|x-

a

2

|+|x-3|≤

1

2

在数轴上，|x-

a

2

|+表示横坐标为x的点P到横坐标为

a

2

的点A距离，|x-3|就表示点P到横坐标为3的点B的距离，
∵（|PA|+|PB|）_min=|

a

2

-3|，
∴要使得不等式|x-

a

2

|+|x-3|≤

1

2

成立，只要最小值|

a

2

-3|≤

1

2

就可以了，
即|a-6|≤1，∴5≤a≤7．
故实数a的取值范围是7≤a≤7．
故答案为：[5，7]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|

a

2

-3|≤

1

2

是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．