Question

8．在△ABC中，若|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=1．

Answer 1

分析 利用|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|可知∠A=90°，进而计算可得结论．

解答 解：∵|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴${\overrightarrow{AB}}^{2}$+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$=${\overrightarrow{BC}}^{2}$=$（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）^{2}$=${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，即∠A=90°，
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=1，|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
∴$|\overrightarrow{BC}|$=$\sqrt{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}$=2，
∴cos∠B=$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{2|\overrightarrow{BA}|•|\overrightarrow{BC}|•cos∠B}{|\overrightarrow{BC}|}$=2$•\frac{1}{2}•$|$\overrightarrow{BA}$|=1，
故答案为：1．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，找出∠A=90°是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题．