Question

17．已知x＞0，y＞0，且$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}$=1，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2$\sqrt{16xy}$，解关于xy的不等式可得；
（2）由题意可得x+y=（x+y）•（$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$）=10+$\frac{2x}{y}$+$\frac{8y}{x}$，由基本不等式可得．

解答 解：（1）∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{y}+\frac{8}{x}$=1，
∴xy=2x+8y≥2$\sqrt{16xy}$
即xy≥8$\sqrt{xy}$，∴$\sqrt{xy}$≥8，
平方可得xy≥64，
当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，
∴xy的最小值为64；
（2）∵x＞0，y＞0，且$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$=1．
∴x+y=（x+y）•（$\frac{2}{y}$+$\frac{8}{x}$）=10+$\frac{2x}{y}$+$\frac{8y}{x}$≥10+2$\sqrt{\frac{2x}{y}•\frac{8y}{x}}$=18，
当且仅当$\frac{2x}{y}$=$\frac{8y}{x}$，即x=2y=12时“=”成立．
∴x+y的最小值为18

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的解法，属基础题．