Question

已知曲线C₁的方程为x²-

y2

8

=1（x≥0，y≥0），圆C₂的方程为（x-3）²+y²=1，斜率为k（k＞0）的直线AB与圆C₂相切于A且交C₁于B．若|

AB

|=

3

，则k=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  3

  3

• C、

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先确定点B的坐标，再利用斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切，即可求得直线AB的斜率．

解答： 解：由题意，圆C₂的圆心为双曲线的右焦点
∵|

AB

|=

3

，圆的半径为1
∴|BC₂|=2
设B的坐标为（x，y），（x＞0）
∵双曲线的右准线为x=

1

3

∴

2

x- 1 3

=3
∴x=1
∴B（1，0）
设AB的方程为y=k（x-1），即kx-y-k=0
∵斜率为k（k＞0）直线l与圆C₂相切
∴

|2k|

k2+1

=1（k＞0）
解得k=

3

3

故选：B．

点评：本题考查圆与圆锥曲线的综合，解题的关键是确定B的坐标，利用直线与圆相切建立方程．