Question

20．已知命题p：$?x∈（{0，\frac{π}{2}}），sinx-x＜0$，命题q：$?{x_0}∈（{0，+∞}），{2^{x_0}}=\frac{1}{2}$，则下列命题为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． （￢p）∧（-q）
• C． p∧（￢q）
• D． （￢p）∧q

Answer 1

分析 利用导数研究函数的单调性可得命题p的真假，利用指数函数的单调性即可判断出命题q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．

解答 解：对于命题p．记f（x）=sinx-x．由f'（x）=cosx-1≤0．可知f（x）是定义域上的减函数．则$x∈（{0，\frac{π}{2}}）$时，f（x）≤f（0）=0，即sinx-x＜0，所以命题p是真命题．
对于命题q，当x₀＞0时，${2^{x_0}}＞1$，所以命题q是假命题．
于是p∧（-q）为真命题，
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、指数函数的单调性、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．