Question

12．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于P、Q两点，F₂为右焦点，若△PQF₂为等边三角形，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 设F₁（-c，0），根据已知条件容易判断|PQ|与2c的关系，列出方程即可求出离心率．

解答 解：如图，设F₁（-c，0），△PQF₂为等边三角形，可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2{b}^{2}}{a}$=2c，
∴2ca=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²），可得2e=$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}{e}^{2}$，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴该椭圆离心率为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆上的点和椭圆几何量的关系，椭圆的离心率及计算公式的应用．