Question

4．F₁、F₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两焦点，Q是椭圆上任一点，过一焦点引∠F₁QF₂的外角平分线的垂线，则垂足M的轨迹为（　　）

• A． 圆
• B． 椭圆
• C． 双曲线
• D． 抛物线

Answer 1

分析 根据题意，延长F₁M，与F₂MQ的延长线交于B点，连接MO．根据等腰三角形“三线合一”和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OM的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点M的轨迹方程为x²+y²=a²，由此可得本题答案．

解答 解：如图所示，延长F₁M，与F₂MQ的延长线交于B点，连接MO，
∵MQ是∠F₁QB的平分线，且QM⊥BF₁
∴△F₁QB中，|QF₁|=|BQ|且Q为BF₁的中点
由三角形中位线定理，得|OM|=$\frac{1}{2}$|BF₂|=$\frac{1}{2}$（|BQ|+|QF₂|）
∵由椭圆的定义，得|QF₁|+|QF₂|=2a，（2a是椭圆的长轴）
可得|BQ|+|QF₂|=2a，
∴|OM=a，可得动点M的轨迹方程为x²+y²=a²
为以原点为圆心半径为a的圆
故选：A．

点评 本题在椭圆中求动点Q的轨迹，着重考查了椭圆的定义、等腰三角形的判定和三角形中位线定理等知识，属于中档题．