Question

1．已知函数$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}+a（a∈R）$为奇函数，
（1）求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求实数t的取值范围；
（3）解关于x的不等式f（x²-mx）≥f（2x-2m）．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=0，即可求a的值；
（2）当0≤x≤1时，关于x的方程f（x）+1=t有解，求出函数的值域，即可求实数t的取值范围；
（3）利用函数的单调性，化不等式为具体不等式，分类讨论，即可解关于x的不等式f（x²-mx）≥f（2x-2m）．

解答 解：（1）∵x∈R，∴f（0）=0，∴a=-1…．（3分）
（2）∵$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1∴f（x）+1=\frac{2}{{{3^x}+1}}$，∵0≤x≤1，∴2≤3^x+1≤4…．（5分）
∴$\frac{1}{2}≤f（x）+1≤1$…．（7分）∴$\frac{1}{2}≤t≤1$…．（8分）
（3）$f（x）=\frac{2}{{{3^x}+1}}-1$在R上单调递减，…．（9分）
f（x²-mx）≥f（2x-2m）x²-mx≤2x-2m…．（10分）
x²-（m+2）x+2m≤0（x-2）（x-m）≤0…．（11分）
①当m＞2时，不等式的解集是{x|2≤x≤m}
②当m=2时，不等式的解集是{x|x=2}
③当m＜2时，不等式的解集是{x|m≤x≤2}…．（14分）

点评 本题考查奇函数的性质，考查函数的值域，考查学生解不等式的能力，正确转化是关键．