Question

6．正方形ABCD中，E为BC的中点，向量$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{BD}$的夹角为θ，则cosθ=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 根据条件，可分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设正方形的边长为2，从而可求出点A，E，B，D的坐标，进而求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$的坐标，从而便可求出cosθ的值．

解答 解：如图，

分别以DC，DA所在直线为x，y轴，建立如图平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则：
A（0，2），E（2，1），B（2，2），D（0，0）；
∴$\overrightarrow{AE}=（2，-1），\overrightarrow{BD}=（-2，-2）$；
∴$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{5}，|\overrightarrow{BD}|=2\sqrt{2}$，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=-2$．
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BD}|}=\frac{-2}{\sqrt{5}•2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 考查建立坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，在坐标系中能确定点的坐标，根据向量坐标求向量长度，向量数量积的坐标运算．