Question

已知数列的前项和满足，（1）求数列的前三项

（2）设，求证：数列为等比数列，并指出的通项公式。

Answer 1

解：⑴在S_n=2a_n+(-1)ⁿ中分别令n=1，2，3得

        （2分）          解得   （4分）⑵由S_n=2a_n+(-1)ⁿ，n≥1得S_n-1=2a_n-1+(-1)^n-1，n≥2

两式想减得a_n=2a_a-2a_n-1+2(-1)ⁿ,即a_n=2a_n-1-2(-1)ⁿ     （6分）∴a_n+(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)ⁿ-2(-1)ⁿ=2a_n-1+(-1)^n-1

        =2[a_n-1+(-1)^n-1](n≥2)     （9分）即b_n=2b_n-1(n≥2),b₁=a₁-=∴{b_n}是首项为，公比为2的等比数列.      （10分）

∴b_n=×2^n-1= a_n+(-1)ⁿa_n=×2^n-1-(-1)ⁿ                (12分)