Question

如图，在四棱锥中，底面是菱形，，且侧面平面，点是棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）若，求证：平面平面．

 

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等；（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；（4）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键．

试题解析：【解析】
（1）因为底面是菱形，

所以．

又因为平面，

所以平面．

（2）因为，点是棱的中点，

所以．

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为平面，

所以．

（3）因为，点是棱的中点，

所以．

由（2）可得，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

考点：1、直线与平面平行的判定；2、直线与直线垂直的判定；3、平面与平面垂直的判定．