Question

2．已知等差数列{a_n}中，a₂=6，a₃+a₆=27．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，且T_n=$\frac{{S}_{n}}{3•{2}^{n-1}}$，若对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，计算即可得到；
（2）由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得T_n的最大值，再由恒成立思想，即可得到m的范围．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=6，a₃+a₆=27．可得a₁+d=6，2a₁+7d=27，
解得a₁=d=3，
即有a_n=a₁+（n-1）d=3n；
（2）T_n=$\frac{{S}_{n}}{3•{2}^{n-1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（3+3n）n}{3•{2}^{n-1}}$=$\frac{n（n+1）}{{2}^{n}}$，
T_n+1=$\frac{（n+1）（n+2）}{{2}^{n+1}}$，
由$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$=$\frac{n+2}{2n}$，
可得T₁＜T₂≤T₃＞T₄＞T₅＞…＞T_n＞…
即有T₂=T₃=$\frac{3}{2}$，取得最大值．
对于一切正整数n，总有T_n≤m成立，
则有m≥$\frac{3}{2}$．
即有m的取值范围是[$\frac{3}{2}$，+∞）．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用数列的单调性，考查运算能力，属于中档题．