Question

13．在数列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=（n+2）S_n．
（1）求证：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}等比数列；
（2）b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}+{S}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过na_n+1=（n+2）S_n与（n+1）a_n+2=（n+3）S_n+1作差、整理得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2•$\frac{n+3}{n+2}$，进而利用累乘法计算可知a_n=（n+1）2^n-2，利用错位相减法计算可知S_n=n2^n-1，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}}{n}$+2^n-1，利用累加法计算可知$\frac{{b}_{n}}{n}$-$\frac{{b}_{1}}{1}$=2^n-1-1，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵na_n+1=（n+2）S_n，
∴（n+1）a_n+2=（n+3）S_n+1，
两式相减得：$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=2•$\frac{n+3}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2•$\frac{3}{2}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=2•$\frac{4}{3}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n+1}{n}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=（n+1）2^n-2，
又∵a₁=1，
∴a_n=（n+1）2^n-2，
∴S_n=2•2^-1+3•2⁰+4•2¹+…+（n+1）2^n-2，
2S_n=2•2⁰+3•2¹+…+n2^n-2+（n+1）2^n-1，
两式相减得：-S_n=1+2⁰+2¹+…+2^n-2-（n+1）2^n-1
=1+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$-（n+1）2^n-1，
整理得：S_n=n2^n-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n{2}^{n-1}}{n}$=2^n-1
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以2为公比的等比数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}+{S}_{n}}{n}$=$\frac{{b}_{n}}{n}$+2^n-1，
∴$\frac{{b}_{2}}{2}$-$\frac{{b}_{1}}{1}$=2⁰，$\frac{{b}_{3}}{3}-\frac{{b}_{2}}{2}$=2，…，$\frac{{b}_{n}}{n}$-$\frac{{b}_{n-1}}{n-1}$=2^n-2，
累加得：$\frac{{b}_{n}}{n}$-$\frac{{b}_{1}}{1}$=2⁰+2+…+2^n-2=$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1-1，
又∵b₁=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{b}_{n}}{n}$=$\frac{{b}_{1}}{1}$+2^n-1-1=2^n-1-$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}的通项公式b_n=n•2^n-1-$\frac{1}{2}$n．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．