Question

18．已知数列{a_n}，a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通过对a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2）两边同时取倒数可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1+{a}_{n-1}}$（n≥2），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1+{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+1，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项、1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+（n-1）=$\frac{2n-1}{2}$，
∴a_n=$\frac{2}{2n-1}$．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．