Question

7．已知等差数列{a_n}（a_n＞0）的首项为1，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2．

Answer 1

分析 （1）通过S_n＞0及平方差公式整理可知$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1（n≥2），从而$\sqrt{{S}_{n-1}}$-$\sqrt{{S}_{n-2}}$=1、$\sqrt{{S}_{n-2}}$-$\sqrt{{S}_{n-3}}$=1、…、$\sqrt{{S}_{2}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=1，累加计算可知S_n=n²，进而利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）计算即得结论；
（2）通过（1）可知S_n=n²，通过放缩、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$＜$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵a_n＞0，即S_n＞0，
∴S_n-S_n-1=（$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$）=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S}_{n-1}}$（n≥2），
即$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1（n≥2），
∴$\sqrt{{S}_{n-1}}$-$\sqrt{{S}_{n-2}}$=1，$\sqrt{{S}_{n-2}}$-$\sqrt{{S}_{n-3}}$=1，…，$\sqrt{{S}_{2}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=1，
累加得：$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{1}}$=n-1，
又∵a₁=1，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n，即S_n=n²，
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1（n≥2），
又∵a₁=1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）证明：由（1）可知S_n=n²，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
∴T_n≤1+（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）
=1+（1-$\frac{1}{n}$）
=2-$\frac{1}{n}$
＜2．

点评 本题考查数列的通项及n项和，考查运算求解能力，利用放缩法、裂项法求和是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．