Question

14．已知数列{a_n}中，a₁=1，且当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）=$\frac{1}{2}$a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x取得极值．
（1）若b_n=2^n-1•a_n，证明数列{b_n}为等差数列；
（2）设数列c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$，{c_n}的前n项和为S_n，若不等式mS_n＜n+4（-1）ⁿ对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对f（x）=$\frac{1}{2}$a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x求导，利用$f′（\frac{1}{2}）=0$，计算可知b_n+1=b_n+1，进而可知数列{b_n}是首项、公差均为1的等差数列；
（2）通过（1）可知b_n=n，裂项可知c_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加得S_n=$\frac{n}{n+1}$，进而问题转化为求f（n）=$\frac{n+4•（-1）^{n}}{{S}_{n}}$的最小值，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵f（x）=$\frac{1}{2}$a_n•x²+（2^-n-a_n+1）•x，
∴f′（x）=$x{a}_{n}+{2}^{-n}-{a}_{n+1}$，
∴$f′（\frac{1}{2}）=0$，即$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$-a_n+1=0，
∴2ⁿa_n+1=2^n-1a_n+1，即b_n+1=b_n+1，
又∵${b}_{1}={2}^{1-1}•{a}_{1}$=1，
∴数列{b_n}是首项、公差均为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知b_n=n，
∴c_n=$\frac{1}{{b}_{n}•{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$，
∵不等式mS_n＜n+4（-1）ⁿ对任意的正整数n恒成立，
∴m＜$\frac{n+4•（-1）^{n}}{{S}_{n}}$=1+n+$\frac{（-1）^{n}•4（n+1）}{n}$对任意的正整数n恒成立，
记f（n）=1+n+$\frac{（-1）^{n}•4（n+1）}{n}$，
则f（1）=-6，f（2）=9，f（3）=-$\frac{4}{3}$，f（4）=10，…，
显然当n=1时f（n）取最小值，
∴m＜f（1）=-6，
∴m的取值范围是（-∞，-6）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．