Question

知a∈R，矩阵A=

1 2 a a

对应的线性变换把点P（1，1）变成点P′（3，3），求矩阵A的特征值以及属于没个特征值的一个特征向量．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：计算题

分析：解本题的突破口是由

1 2 a a

1   1

=

3   3

，得a+1=3，得到a的值，从而可得矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ+1）（λ-3），
再令f（λ）=0，得矩阵A的特征值λ₁=-1，λ₂=3，到此问题基本得以解决．

解答： 解：由

1 2 a a

1   1

=

3   3

，得a+1=3，解得a=2
则矩阵A的特征多项式为f（λ）=

.

λ-1 -2 -2 λ-1

.

=（λ+1）（λ-3），
令f（λ）=0，得矩阵A的特征值λ₁=-1，λ₂=3，
对于相应的线性方程组

-2x-2y=0 -2x-2y=0

 得一个非零解

x=1 y=-1

，
故特征值为λ₁=-1，的一个特征向量为

1   -1

，
同理得到特征值为λ₂=3的一个特征向量为

1   1

．

点评：本题考查的是求矩阵的特征值以及特征向量问题，属于基础题．