Question

设函数f （x）=x³+ax²-（2a+3）x+a²，a∈R．
（Ⅰ） 若x=1是f （x）的极大值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 设函数g（x）=bx²-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函数f （x）有极大值，且g（x）的极大值点与f （x）的极大值点相同．当a＞-3时，求证：g（x）的极小值小于-1．

Answer 1

分析：（I）求出f（x）的导数，根据x=1是f （x）的极大值点，令导函数等于0的另一个根大于极大值点x=1，列出不等式，求出实数a的取值范围．
（II）求出f（x）的导函数，令导函数为0，求出两个根，据已知条件，两个根不等，根据a的范围，求出f（x）的极大值，求出g（x）的导数，求出g（x）的极大值，根据已知列出方程，求出极小值，得证．

解答：解：（Ⅰ）  f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的极大值点，
故-

2a+3

3

＞1，
即a＜-3    
（Ⅱ） f′（x）=3x²+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=

1

x

+2bx-（2b+1）=

(x-1)(2bx-1)

x

．
由于函数f （x）有极大值，故-

2a+3

3

≠1，即a≠-3．
当 a＞-3时，即-

2a+3

3

＜1，则f （x）的极大值点x=-

2a+3

3

，
所以，g（x）的极大值点x=

1

2b

，极小值点为x=1．
所以，

- 2a+3 3 = 1 2b 0＜ 1 2b ＜1

?

- 2a+3 3 = 1 2b b＞ 1 2

，
此时，g（x）的极小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-

3

2

＜-1．

点评：利用导数求函数的极值时，令导数等于0，然后判断根左右两边的导函数符号，导函数符号先正后负，根为极大值；导函数符号先负后正，根为极小值．