Question

【题目】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.

（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；

（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：（1）设的中点为 ，可得 ,当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为 ， 设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.

试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：

当两个圆相内切时 ，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即

所以，椭圆长轴长为6.

（Ⅱ）由已知， ，所以椭圆方程为

当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：

设

由得

恒成立

设

当即时为定值

当直线AB斜率不存在时，不妨设

当时，为定值

综上：在X轴上存在定点，使得为定值