Question

【题目】已知函数，，其导函数为.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数有两个零点，，求证：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，讨论和两种情况，得到答案.

（2），设，求导得到单调性得到，得到答案.

（3）要证，即，构造函数，证明函数单调递减，得到，根据单调性得到答案.

（1），，

当时，恒成立，函数单调递增；

当时，，，故在上单调递减，在上单调递增.

综上所述：时，函数在R上单调递增，时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2），即，设，

则

设，则在上恒成立，故单调递增，

故，故在上单调递减，在上单调递增，

故，故.

（3），故，，相加得到.

要证，即证，即.

，即，设，则，

函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，

函数图像如图所示：故取，

构造函数，，

，，函数在上单调递减，故，

当时，，函数单调递减，，故.

即，即，，，函数单调递增，

故，即.