Question

19．如图，在几何体S-ABCD中，AB⊥平面SBC，CD⊥平面SBC，SB⊥SC，AB=SB=SC=2CD=2，G是线段BS的中点．
（1）求GD与平面SCD所成角的正弦值；
（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出CD⊥SB，SB⊥SC，从而∠GDS为所求线面角，由此能求出GD与平面SCD所成角的正弦值．
（Ⅱ）在平面SBC内，过点B作BQ∥CS，以B为原点，分别以射线BQ，BS，BA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵CD⊥平面SBC，∴CD⊥SB，…（1分）
∵SB⊥SC，且SC与CD交于C点，
∴SB⊥平面SDC，∵G为SB上一点，
∴∠GDS为所求线面角．…（3分）
∵$DS=\sqrt{5}$，GS=1，$DG=\sqrt{6}$，…（4分）
∴$sin∠GDS=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∴GD与平面SCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．…（6分）
（Ⅱ）如图，在平面SBC内，过点B作BQ∥CS，
∵BS⊥SC，∴BQ⊥BS，
又∵AB⊥平面SBC，∴AB⊥BS，AB⊥BQ，
以B为原点，分别以射线BQ，BS，BA为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则A（0，0，2），B（0，0，0），S（0，2，0），D（2，2，1）．…（7分）
∵AB⊥平面SBC，∴$\overrightarrow{BA}=（0，\;\;0，\;\;2）$为平面SBC的法向量，…（8分）
设$\overrightarrow n=（x，\;\;y，\;\;z）$为平面SAD的法向量．
又$\overrightarrow{AS}=（0，\;\;2，\;\;-2）$，$\overrightarrow{AD}=（2，\;\;2，\;\;-1）$，
可得$\overrightarrow n=（-1，\;\;2，\;\;2）$，…（10分）
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{2}{3}$，
∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．