Question

已知f(x)=x²+c,且f［f(x)］=f(x²+1)

（1）设g(x)=f［f(x)］,求g(x)的解析式；

（2）设φ(x)=g(x)-λf(x),试问:是否存在实数λ,使φ(x)在(-∞,-1)内为减函数，且在(-1，0)内是增函数.

Answer 1

（1）f(x)= (x²+1)²+1

（2）当λ=4时，φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，在(－1,0)上是增函数，即满足条件的λ存在

(1)由题意得f［f(x)］=f(x²+c)=(x²+c)²+c
f(x²+1)=(x²+1)²+c,∵f［f(x)］=f(x²+1)
∴(x²+c)²+c=(x²+1)²+c,
∴x²+c=x²+1,∴c=1
∴f(x)=x²+1,g(x)=f［f(x)］=f(x²+1)=(x²+1)²+1
(2)φ(x)=g(x)－λf(x)=x⁴+(2－λ)x²+(2－λ)
若满足条件的λ存在，则φ′(x)=4x³+2(2－λ)x
∵函数φ(x)在(－∞,－1)上是减函数，
∴当x＜－1时，φ′(x)＜0
即4x³+2(2－λ)x＜0对于x∈(－∞,－1)恒成立
∴2(2－λ)＞－4x²,
∵x＜－1,∴－4x²＜－4
∴2(2－λ)≥－4,解得λ≤4
又函数φ(x)在(－1,0)上是增函数
∴当－1＜x＜0时，φ′(x)＞0
即4x²+2(2－λ)x＞0对于x∈(－1,0)恒成立
∴2(2－λ)＜－4x²,
∵－1＜x＜0,∴－4＜4x²＜0
∴2(2－λ)≤－4,解得λ≥4